线性代数 II 复习笔记

核心公式速查

线性空间和线性映射

内积和正交

\[G=((e_i,e_j)),\qquad A^*Ax=A^*b,\qquad V=W\oplus W^\perp\quad(\text{有限维内积空间})\]

• 复内积和复矩阵里，转置通常要换成共轭转置 \(A^*\)。
• 正交投影的核心句子：误差 \(b-Ax\) 落在 \(W^\perp\)。

特征值、最小多项式、Jordan

\[J_s(\lambda)=\lambda I+N,\qquad N^s=0,\qquad f(J_s(\lambda))=\sum_{j=0}^{s-1}\frac{f^{(j)}(\lambda)}{j!}N^j\]

λ-矩阵、矩阵函数、SVD、对偶

多项式理论

多项式整除不可约

要点

• 带余除法和 Euclidean 算法。
• 最大公因式、互素、Bezout 表达式。
• 不可约和标准分解必须说明所在数域。
• 根、重根和 \(f'\) 的关系。

1.1 形式多项式

在数域 \(F\) 上，\(F[x]\) 是以形式符号 \(x\) 为变量的多项式环。两个多项式相等，指对应次数的系数全相等；这不同于两个多项式函数在每个点取值相等。有限域上尤其要小心。

1.2 带余除法和最大公因式

\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\qquad \deg r<\deg g.\]

这个公式是后面一切“可算”的入口。Euclidean 算法反复做带余除法，最终得到最大公因式；回代得到 Bezout 等式。

\[d=\gcd(f,g)\quad\Longrightarrow\quad \exists u,v\in F[x],\\ uf+vg=d.\]

1.3 不可约和分解

• “不可约”必须带着数域说：\(x^2+1\) 在 \(\mathbb R\) 上不可约，在 \(\mathbb C\) 上可约。
• 实系数多项式的非实根成共轭对出现。
• Eisenstein 判别法常用于构造或证明 \(\mathbb Q[x]\) 上不可约。

题型模板

1. 求 \(\gcd(f,g)\) 并写出 \(uf+vg=d\)。
2. 判断给定多项式在 \(\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C,\mathbb F_p\) 上是否可约。
3. 用互素整除性质证明 \(f\mid h\)。
4. 用 \(f\) 和 \(f'\) 判断重根。

内积、正交、行列式拾遗

内积正交投影行列式

要点

• Gram 矩阵/度量矩阵的性质。
• 正交补、直和、维数公式。
• 正交投影和最小二乘法方程。
• 行列式乘法、初等变换、分块三角矩阵。

正交投影的方程来自“误差垂直于子空间”：\(A^*(b-Ax)=0\)。

2.1 Gram 矩阵和内积

给定基 \(e_1,\ldots,e_n\)，Gram 矩阵为 \(G=((e_i,e_j))\)。实情形是对称正定矩阵；复情形是 Hermite 正定矩阵。

2.2 正交补和投影

\[\dim W+\dim W^\perp=\dim V,\qquad (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp.\]

若 \(A\) 的列向量张成子空间 \(W\)，投影向量写为 \(Ax\)，则

\[A^*(b-Ax)=0\quad\Longleftrightarrow\quad A^*Ax=A^*b.\]

注意

映射、线性映射和矩阵表示

核和像同构矩阵方程

要点

• 求 \(\ker T\)、\(\operatorname{Im}T\)、秩和零度。
• 判断单射、满射、同构。
• 写出线性映射在两组基下的矩阵。
• 把 \(AXB=C\) 或 \(AX+XB=C\) 转成普通线性方程。

3.1 坐标化的核心

线性代数 II 的主线之一是：抽象向量选基后变成坐标，线性映射选基后变成矩阵。

\[[T(v)]_{B'}=A[v]_B.\]

同一个线性变换在不同基下的矩阵相似，这就是相似关系真正的来源。

3.2 Hom 空间

有限维情形下，\(\operatorname{Hom}(V,W)\) 本身也是线性空间，并且

\[\dim\operatorname{Hom}(V,W)=\dim V\cdot\dim W.\]

3.3 矩阵方程

关键是会把问题变成线性方程。

\[\operatorname{vec}(AXB)=(B^T\otimes A)\operatorname{vec}(X).\]

特征值、对角化、Schur 和正规矩阵

特征值对角化正规矩阵

要点

• 不同特征值对应特征向量线性无关。
• 可交换矩阵的不变子空间思想。
• Schur：复矩阵可酉相似到上三角。
• 正规矩阵可酉对角化；Hermite 特征值实。

4.1 对角化

可对角化的意思是有一组特征向量基。它是“把空间分解成一维不变子空间”的最理想情况。

4.2 正规矩阵谱定理

\[A^*A=AA^*\quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ 可酉对角化}.\]

• 实对称矩阵是 Hermite 矩阵的实版本，可正交对角化。
• Hermite 矩阵特征值全为实数。
• 酉/正交相似保持内积结构，比普通相似更强。

4.3 注意

古典伴随矩阵和特征值关系常用于小题。Gershgorin 圆盘定理也要会用。

最小多项式、幂零、Jordan 和根子空间

最小多项式幂零Jordan

要点

• 最小多项式的定义和相似不变性。
• Cayley-Hamilton：\(m_A\mid \chi_A\)。
• 幂零变换的 Jordan 链。
• 由 \(\dim\ker(A-\lambda I)^k\) 推 Jordan 块。

Jordan 链就是幂零部分把向量一级一级往下推，直到变成 0。

5.1 最小多项式

最小多项式 \(m_A\) 是次数最低的首一零化多项式。相似矩阵有相同的最小多项式。

\[p(A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad m_A(x)\mid p(x).\]

5.2 Jordan 块读法

• 代数重数：某特征值在特征多项式里的次数。
• 几何重数：\(\dim\ker(A-\lambda I)\)，也是该特征值的 Jordan 块个数。
• 最大块大小：\((x-\lambda)\) 在最小多项式里的指数。

5.3 典型计算

1. 求 \(\chi_A\) 和候选特征值。
2. 算 \(d_k=\dim\ker(A-\lambda I)^k\)。
3. 用 \(d_k-d_{k-1}\) 得到大小至少为 \(k\) 的块数。
4. 写出 Jordan 标准形，必要时构造 Jordan 基。

\(\lambda\)-矩阵、Smith 标准形和有理标准形

Smith不变因子初等因子

要点

• \(\lambda\)-等价和 Smith 标准形。
• 行列式因子、不变因子、初等因子。
• 由初等因子写 Jordan 块。
• 用 \(\lambda I-A\) 判别相似。

6.1 Smith 标准形

在 \(F[\lambda]\) 上做初等行列变换，可以把多项式矩阵化成对角形式。

\[\operatorname{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\ldots,d_r(\lambda)),\qquad d_i\mid d_{i+1}.\]

6.2 三类因子

• 行列式因子 \(D_k\)：所有 \(k\) 阶子式的最大公因式。
• 不变因子：\(d_k=D_k/D_{k-1}\)。
• 初等因子：把不变因子分解成准素因子。

6.3 和 Jordan 的关系

\[\text{初等因子 }(\lambda-\lambda_i)^s \quad\Longleftrightarrow\quad \text{一个 }s\text{ 阶 Jordan 块 }J_s(\lambda_i).\]

概念之间的转换、由初等因子写标准形仍要会。

矩阵函数

矩阵函数Jordan 块插值

要点

• 会算 \(A^n\)、\(e^A\)、\(\sin A\) 这类题。
• 掌握 Jordan 块公式。
• 会用最小多项式做插值降次。
• 知道重根/重块时要匹配导数。

7.1 Jordan 块公式

若 \(J_s(\lambda)=\lambda I+N\)，其中 \(N\) 是标准幂零块，则

\[f(J_s(\lambda))=f(\lambda)I+f'(\lambda)N+\frac{f''(\lambda)}{2!}N^2+\cdots+\frac{f^{(s-1)}(\lambda)}{(s-1)!}N^{s-1}.\]

7.2 最小多项式插值

若 \(m_A(x)=\prod_i(x-\lambda_i)^{\nu_i}\)，要找次数小于 \(\deg m_A\) 的 \(p\)，满足

\[p^{(j)}(\lambda_i)=f^{(j)}(\lambda_i),\qquad 0\le j<\nu_i.\]

然后 \(f(A)=p(A)\)。这条路线在计算题里很实用，因为不用真的写出完整相似变换矩阵。

奇异值分解和相抵标准形

相抵SVD几何意义

要点

• 知道相抵允许左右乘不同可逆矩阵。
• 会从 \(A^*A\) 求奇异值。
• 理解 \(A=U\Sigma V^*\) 的三步几何意义。
• 知道非零奇异值个数等于秩。

8.1 SVD

\[A=U\Sigma V^*,\qquad \sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^*A)}.\]

几何上，\(V^*\) 先做坐标系旋转/反射，\(\Sigma\) 沿坐标轴拉伸，\(U\) 再做旋转/反射。

对偶空间、对偶映射和双线性型

对偶基对偶映射双线性型

要点

• 会写对偶基：\(e^i(e_j)=\delta_{ij}\)。
• 对偶映射方向反过来，矩阵转置。
• 双线性型的矩阵表示 \(B(x,y)=x^TAy\)。
• 会求左/右根子空间和正交空间。

9.1 对偶空间

线性函数 \(f:V\to F\) 构成的空间记为 \(V^*\)。有限维时 \(\dim V^*=\dim V\)。若 \(e_1,\ldots,e_n\) 是 \(V\) 的一组基，则对偶基 \(e^1,\ldots,e^n\) 满足

\[e^i(e_j)=\delta_{ij}.\]

9.2 对偶映射

若 \(T:U\to V\)，则

\[T^*:V^*\to U^*,\qquad T^*(f)=f\circ T.\]

注意方向反了，并且 \((ST)^*=T^*S^*\)。

9.3 双线性型

双线性型对两个变量分别线性。选基后，矩阵表示为

\[B(x,y)=x^TAy.\]

对称双线性型和二次型相连；一般双线性型可定义左根子空间、右根子空间和正交空间。

拿来刷题

题型模板

模板 1：判断可对角化

1. 求特征多项式和特征值。
2. 算每个特征值的几何重数。
3. 若几何重数之和等于 \(n\)，可对角化。
4. 或者求最小多项式：完全分裂且无重因子即对角化。

模板 2：由核维数判断 Jordan 块

1. 固定特征值 \(\lambda\)，算 \(d_k=\dim\ker(A-\lambda I)^k\)。
2. \(d_k-d_{k-1}\) 是大小至少为 \(k\) 的块数。
3. 相邻差分得到恰好大小为 \(k\) 的块数。

模板 3：由初等因子写 Jordan

1. 把不变因子分解成 \((\lambda-\lambda_i)^s\)。
2. 每个因子对应一个 \(J_s(\lambda_i)\)。
3. 把所有 Jordan 块按特征值或大小排好即可。

模板 4：算矩阵函数

1. 若已知 Jordan 形，用 \(f(J_s(\lambda))\) 的导数公式。
2. 若已知最小多项式，用 Hermite 插值找低次多项式 \(p\)。
3. 最后写 \(f(A)=p(A)\)，避免把函数逐元素代入。

模板 5：对偶和双线性型

1. 求对偶基：设 \(f_i\) 坐标未知，解 \(f_i(e_j)=\delta_{ij}\)。
2. 求对偶映射矩阵：在对偶基下通常取原矩阵转置，注意方向。
3. 求双线性型根子空间：解 \(Ay=0\) 或 \(A^Tx=0\)，取决于左/右变量。

最后查漏